運動量とエネルギー - 放射線取扱主任者試験対策室

重要度：★★★

物理学の試験において，計算問題が出題されます．

ここでは，粒子（古典力学の場合，相対論的力学の場合の両方）と光子の運動量及びエネルギーを表す式（(1)～(8)式），また，光子や量子力学における粒子の，粒子性と波動性を結びつけるド・ブロイ波長を表す式（(9)式）について暗記してください．

(1)，(2)式は，高校物理の範囲です．

(3)式は，物理学者アルバート・アインシュタインの有名な公式として，知っている方も多いと思います．

(4)，(5)式あたりが少し複雑で覚えにくいかもしれませんが，基本（静止状態～通常の速度）は(1)，(3)式で，速度が光速に近づくと，質量の部分が(6)式で置き換えられる，といった感じで覚えるとよいと思います．

(7)，(8)式については， $\displaystyle {E = h\nu}$ だけ覚えておけば， $\displaystyle {p = mc}$ と $\displaystyle {E = mc^{2}}$ の関係から(7)式を導くことができ，速さ・時間・距離の公式（距離＝速さ×時間）すなわち， $\displaystyle { \lambda = cT = \frac{c}{\nu}}$ （ $T$ は周期で振動数 $\nu$ の逆数）から， $\displaystyle { \nu = \frac{c}{\lambda}}$ となるので，(8)式を導くことができます．

(9)式のド・ブロイ波長 $\lambda$ は，式が簡単なので暗記してしまった方が早いですが，(7)式中辺の $E$ に，(8)式右辺を代入して変形することによっても求められます．

粒子の運動量とエネルギー

古典力学では，粒子の質量を $m$ ，速度を $v$ とすると，運動量 $p$ と運動エネルギー $T$ は，

　 $\displaystyle \begin{eqnarray} \require{color} \textcolor{red}{p = mv} \end{eqnarray}$

$(1)$

　 $\displaystyle \require{color} \textcolor{red}{T = \frac{1}{2} mv^{2}}$

$(2)$

で与えられます．

一方，速度 $v$ が光速 $c$ に近づくと，相対論的取扱いが必要となります．

アインシュタインの特殊相対性理論では，静止質量 $m_{0}$ の粒子は，存在するだけで，

　 $\displaystyle E_{0} = m_{0}c^{2}$

$(3)$

で表される静止エネルギー $E_{0}$ を持ち，相対論のエネルギー保存則は，運動エネルギー $T$ にこの静止エネルギー $E_{0}$ を加えた全エネルギー $E$ に対して適用されます．

以上より，相対論的力学では，運動量 $p$ と全エネルギー $E$ は，

　 $\displaystyle \require{color} \textcolor{red}{p = \frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left( \dfrac{v}{c}\right) ^{2}}}}$

$(4)$

　 $\displaystyle \require{color} \textcolor{red}{E = T+m_{0}c^{2}} = \sqrt{p^{2}c^{2}+{m_{0}}^{2}c^{4}} \textcolor{red}{= \dfrac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\left( \dfrac{v}{c}\right) ^{2}}}}$

$(5)$